simgear/math/SGGeodesy.cxx

   1 // Copyright (C) 2006  Mathias Froehlich - Mathias.Froehlich@web.de
   2 //
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   7 //
   8 // This library is distributed in the hope that it will be useful,
   9 // but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
  10 // MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the GNU
  11 // Library General Public License for more details.
  12 //
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  14 // along with this program; if not, write to the Free Software
  15 // Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301, USA.
  16 //
  17
  18 #ifdef HAVE_CONFIG_H
  19 #  include <simgear_config.h>
  20 #endif
  21
  22 #include <cmath>
  23
  24 #include <simgear/structure/exception.hxx>
  25 #include <simgear/debug/logstream.hxx>
  26
  27 #include "SGMath.hxx"
  28
  29 // These are hard numbers from the WGS84 standard.  DON'T MODIFY
  30 // unless you want to change the datum.
  31 #define _EQURAD 6378137.0
  32 #define _FLATTENING 298.257223563
  33
  34 // These are derived quantities more useful to the code:
  35 #if 0
  36 #define _SQUASH (1 - 1/_FLATTENING)
  37 #define _STRETCH (1/_SQUASH)
  38 #define _POLRAD (EQURAD * _SQUASH)
  39 #else
  40 // High-precision versions of the above produced with an arbitrary
  41 // precision calculator (the compiler might lose a few bits in the FPU
  42 // operations).  These are specified to 81 bits of mantissa, which is
  43 // higher than any FPU known to me:
  44 #define _SQUASH    0.9966471893352525192801545
  45 #define _STRETCH   1.0033640898209764189003079
  46 #define _POLRAD    6356752.3142451794975639668
  47 #endif
  48
  49 // The constants from the WGS84 standard
  50 const double SGGeodesy::EQURAD = _EQURAD;
  51 const double SGGeodesy::iFLATTENING = _FLATTENING;
  52 const double SGGeodesy::SQUASH = _SQUASH;
  53 const double SGGeodesy::STRETCH = _STRETCH;
  54 const double SGGeodesy::POLRAD = _POLRAD;
  55
  56 // additional derived and precomputable ones
  57 // for the geodetic conversion algorithm
  58
  59 #define E2 fabs(1 - _SQUASH*_SQUASH)
  60 static double a = _EQURAD;
  61 static double ra2 = 1/(_EQURAD*_EQURAD);
  62 //static double e = sqrt(E2);
  63 static double e2 = E2;
  64 static double e4 = E2*E2;
  65
  66 #undef _EQURAD
  67 #undef _FLATTENING
  68 #undef _SQUASH
  69 #undef _STRETCH
  70 #undef _POLRAD
  71 #undef E2
  72
  73 void
  74 SGGeodesy::SGCartToGeod(const SGVec3<double>& cart, SGGeod& geod)
  75 {
  76   // according to
  77   // H. Vermeille,
  78   // Direct transformation from geocentric to geodetic ccordinates,
  79   // Journal of Geodesy (2002) 76:451-454
  80   double X = cart(0);
  81   double Y = cart(1);
  82   double Z = cart(2);
  83   double XXpYY = X*X+Y*Y;
  84   if( XXpYY + Z*Z < 25 ) {
  85     // This function fails near the geocenter region, so catch that special case here.
  86     // Define the innermost sphere of small radius as earth center and return the
  87     // coordinates 0/0/-EQURAD. It may be any other place on geoide's surface,
  88     // the Northpole, Hawaii or Wentorf. This one was easy to code ;-)
  89     geod.setLongitudeRad( 0.0 );
  90     geod.setLongitudeRad( 0.0 );
  91     geod.setElevationM( -EQURAD );
  92     return;
  93   }
  94
  95   double sqrtXXpYY = sqrt(XXpYY);
  96   double p = XXpYY*ra2;
  97   double q = Z*Z*(1-e2)*ra2;
  98   double r = 1/6.0*(p+q-e4);
  99   double s = e4*p*q/(4*r*r*r);
 100 /*
 101   s*(2+s) is negative for s = [-2..0]
 102   slightly negative values for s due to floating point rounding errors
 103   cause nan for sqrt(s*(2+s))
 104   We can probably clamp the resulting parable to positive numbers
 105 */
 106   if( s >= -2.0 && s <= 0.0 )
 107     s = 0.0;
 108   double t = pow(1+s+sqrt(s*(2+s)), 1/3.0);
 109   double u = r*(1+t+1/t);
 110   double v = sqrt(u*u+e4*q);
 111   double w = e2*(u+v-q)/(2*v);
 112   double k = sqrt(u+v+w*w)-w;
 113   double D = k*sqrtXXpYY/(k+e2);
 114   geod.setLongitudeRad(2*atan2(Y, X+sqrtXXpYY));
 115   double sqrtDDpZZ = sqrt(D*D+Z*Z);
 116   geod.setLatitudeRad(2*atan2(Z, D+sqrtDDpZZ));
 117   geod.setElevationM((k+e2-1)*sqrtDDpZZ/k);
 118 }
 119
 120 void
 121 SGGeodesy::SGGeodToCart(const SGGeod& geod, SGVec3<double>& cart)
 122 {
 123   // according to
 124   // H. Vermeille,
 125   // Direct transformation from geocentric to geodetic ccordinates,
 126   // Journal of Geodesy (2002) 76:451-454
 127   double lambda = geod.getLongitudeRad();
 128   double phi = geod.getLatitudeRad();
 129   double h = geod.getElevationM();
 130   double sphi = sin(phi);
 131   double n = a/sqrt(1-e2*sphi*sphi);
 132   double cphi = cos(phi);
 133   double slambda = sin(lambda);
 134   double clambda = cos(lambda);
 135   cart(0) = (h+n)*cphi*clambda;
 136   cart(1) = (h+n)*cphi*slambda;
 137   cart(2) = (h+n-e2*n)*sphi;
 138 }
 139
 140 double
 141 SGGeodesy::SGGeodToSeaLevelRadius(const SGGeod& geod)
 142 {
 143   // this is just a simplified version of the SGGeodToCart function above,
 144   // substitute h = 0, take the 2-norm of the cartesian vector and simplify
 145   double phi = geod.getLatitudeRad();
 146   double sphi = sin(phi);
 147   double sphi2 = sphi*sphi;
 148   return a*sqrt((1 + (e4 - 2*e2)*sphi2)/(1 - e2*sphi2));
 149 }
 150
 151 void
 152 SGGeodesy::SGCartToGeoc(const SGVec3<double>& cart, SGGeoc& geoc)
 153 {
 154   double minVal = SGLimits<double>::min();
 155   if (fabs(cart(0)) < minVal && fabs(cart(1)) < minVal)
 156     geoc.setLongitudeRad(0);
 157   else
 158     geoc.setLongitudeRad(atan2(cart(1), cart(0)));
 159
 160   double nxy = sqrt(cart(0)*cart(0) + cart(1)*cart(1));
 161   if (fabs(nxy) < minVal && fabs(cart(2)) < minVal)
 162     geoc.setLatitudeRad(0);
 163   else
 164     geoc.setLatitudeRad(atan2(cart(2), nxy));
 165
 166   geoc.setRadiusM(norm(cart));
 167 }
 168
 169 void
 170 SGGeodesy::SGGeocToCart(const SGGeoc& geoc, SGVec3<double>& cart)
 171 {
 172   double lat = geoc.getLatitudeRad();
 173   double lon = geoc.getLongitudeRad();
 174   double slat = sin(lat);
 175   double clat = cos(lat);
 176   double slon = sin(lon);
 177   double clon = cos(lon);
 178   cart = geoc.getRadiusM()*SGVec3<double>(clat*clon, clat*slon, slat);
 179 }
 180
 181 // Notes:
 182 //
 183 // The XYZ/cartesian coordinate system in use puts the X axis through
 184 // zero lat/lon (off west Africa), the Z axis through the north pole,
 185 // and the Y axis through 90 degrees longitude (in the Indian Ocean).
 186 //
 187 // All latitude and longitude values are in radians.  Altitude is in
 188 // meters, with zero on the WGS84 ellipsoid.
 189 //
 190 // The code below makes use of the notion of "squashed" space.  This
 191 // is a 2D cylindrical coordinate system where the radius from the Z
 192 // axis is multiplied by SQUASH; the earth in this space is a perfect
 193 // circle with a radius of POLRAD.
 194
 195 ////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 196 //
 197 // Direct and inverse distance functions
 198 //
 199 // Proceedings of the 7th International Symposium on Geodetic
 200 // Computations, 1985
 201 //
 202 // "The Nested Coefficient Method for Accurate Solutions of Direct and
 203 // Inverse Geodetic Problems With Any Length"
 204 //
 205 // Zhang Xue-Lian
 206 // pp 747-763
 207 //
 208 // modified for FlightGear to use WGS84 only -- Norman Vine
 209
 210 static inline double M0( double e2 ) {
 211     //double e4 = e2*e2;
 212   return SGMiscd::pi()*0.5*(1.0 - e2*( 1.0/4.0 + e2*( 3.0/64.0 +
 213                                                   e2*(5.0/256.0) )));
 214 }
 215
 216
 217 // given, lat1, lon1, az1 and distance (s), calculate lat2, lon2
 218 // and az2.  Lat, lon, and azimuth are in degrees.  distance in meters
 219 static int _geo_direct_wgs_84 ( double lat1, double lon1, double az1,
 220                         double s, double *lat2, double *lon2,
 221                         double *az2 )
 222 {
 223     double a = SGGeodesy::EQURAD, rf = SGGeodesy::iFLATTENING;
 224     double testv = 1.0E-10;
 225     double f = ( rf > 0.0 ? 1.0/rf : 0.0 );
 226     double b = a*(1.0-f);
 227     double e2 = f*(2.0-f);
 228     double phi1 = SGMiscd::deg2rad(lat1), lam1 = SGMiscd::deg2rad(lon1);
 229     double sinphi1 = sin(phi1), cosphi1 = cos(phi1);
 230     double azm1 = SGMiscd::deg2rad(az1);
 231     double sinaz1 = sin(azm1), cosaz1 = cos(azm1);
 232
 233
 234     if( fabs(s) < 0.01 ) {      // distance < centimeter => congruency
 235         *lat2 = lat1;
 236         *lon2 = lon1;
 237         *az2 = 180.0 + az1;
 238         if( *az2 > 360.0 ) *az2 -= 360.0;
 239         return 0;
 240     } else if( SGLimitsd::min() < fabs(cosphi1) ) {     // non-polar origin
 241         // u1 is reduced latitude
 242         double tanu1 = sqrt(1.0-e2)*sinphi1/cosphi1;
 243         double sig1 = atan2(tanu1,cosaz1);
 244         double cosu1 = 1.0/sqrt( 1.0 + tanu1*tanu1 ), sinu1 = tanu1*cosu1;
 245         double sinaz =  cosu1*sinaz1, cos2saz = 1.0-sinaz*sinaz;
 246         double us = cos2saz*e2/(1.0-e2);
 247
 248         // Terms
 249         double  ta = 1.0+us*(4096.0+us*(-768.0+us*(320.0-175.0*us)))/16384.0,
 250             tb = us*(256.0+us*(-128.0+us*(74.0-47.0*us)))/1024.0,
 251             tc = 0;
 252
 253         // FIRST ESTIMATE OF SIGMA (SIG)
 254         double first = s/(b*ta);  // !!
 255         double sig = first;
 256         double c2sigm, sinsig,cossig, temp,denom,rnumer, dlams, dlam;
 257         do {
 258             c2sigm = cos(2.0*sig1+sig);
 259             sinsig = sin(sig); cossig = cos(sig);
 260             temp = sig;
 261             sig = first +
 262                 tb*sinsig*(c2sigm+tb*(cossig*(-1.0+2.0*c2sigm*c2sigm) -
 263                                       tb*c2sigm*(-3.0+4.0*sinsig*sinsig)
 264                                       *(-3.0+4.0*c2sigm*c2sigm)/6.0)
 265                            /4.0);
 266         } while( fabs(sig-temp) > testv);
 267
 268         // LATITUDE OF POINT 2
 269         // DENOMINATOR IN 2 PARTS (TEMP ALSO USED LATER)
 270         temp = sinu1*sinsig-cosu1*cossig*cosaz1;
 271         denom = (1.0-f)*sqrt(sinaz*sinaz+temp*temp);
 272
 273         // NUMERATOR
 274         rnumer = sinu1*cossig+cosu1*sinsig*cosaz1;
 275         *lat2 = SGMiscd::rad2deg(atan2(rnumer,denom));
 276
 277         // DIFFERENCE IN LONGITUDE ON AUXILARY SPHERE (DLAMS )
 278         rnumer = sinsig*sinaz1;
 279         denom = cosu1*cossig-sinu1*sinsig*cosaz1;
 280         dlams = atan2(rnumer,denom);
 281
 282         // TERM C
 283         tc = f*cos2saz*(4.0+f*(4.0-3.0*cos2saz))/16.0;
 284
 285         // DIFFERENCE IN LONGITUDE
 286         dlam = dlams-(1.0-tc)*f*sinaz*(sig+tc*sinsig*
 287                                        (c2sigm+
 288                                         tc*cossig*(-1.0+2.0*
 289                                                    c2sigm*c2sigm)));
 290         *lon2 = SGMiscd::rad2deg(lam1+dlam);
 291         if (*lon2 > 180.0  ) *lon2 -= 360.0;
 292         if (*lon2 < -180.0 ) *lon2 += 360.0;
 293
 294         // AZIMUTH - FROM NORTH
 295         *az2 = SGMiscd::rad2deg(atan2(-sinaz,temp));
 296         if ( fabs(*az2) < testv ) *az2 = 0.0;
 297         if( *az2 < 0.0) *az2 += 360.0;
 298         return 0;
 299     } else {                    // phi1 == 90 degrees, polar origin
 300         double dM = a*M0(e2) - s;
 301         double paz = ( phi1 < 0.0 ? 180.0 : 0.0 );
 302         double zero = 0.0f;
 303         return _geo_direct_wgs_84( zero, lon1, paz, dM, lat2, lon2, az2 );
 304     }
 305 }
 306
 307 bool
 308 SGGeodesy::direct(const SGGeod& p1, double course1,
 309                   double distance, SGGeod& p2, double& course2)
 310 {
 311   double lat2, lon2;
 312   int ret = _geo_direct_wgs_84(p1.getLatitudeDeg(), p1.getLongitudeDeg(),
 313                                course1, distance, &lat2, &lon2, &course2);
 314   p2.setLatitudeDeg(lat2);
 315   p2.setLongitudeDeg(lon2);
 316   p2.setElevationM(0);
 317   return ret == 0;
 318 }
 319
 320 // given lat1, lon1, lat2, lon2, calculate starting and ending
 321 // az1, az2 and distance (s).  Lat, lon, and azimuth are in degrees.
 322 // distance in meters
 323 static int _geo_inverse_wgs_84( double lat1, double lon1, double lat2,
 324                         double lon2, double *az1, double *az2,
 325                         double *s )
 326 {
 327     double a = SGGeodesy::EQURAD, rf = SGGeodesy::iFLATTENING;
 328     int iter=0;
 329     double testv = 1.0E-10;
 330     double f = ( rf > 0.0 ? 1.0/rf : 0.0 );
 331     double b = a*(1.0-f);
 332     // double e2 = f*(2.0-f); // unused in this routine
 333     double phi1 = SGMiscd::deg2rad(lat1), lam1 = SGMiscd::deg2rad(lon1);
 334     double sinphi1 = sin(phi1), cosphi1 = cos(phi1);
 335     double phi2 = SGMiscd::deg2rad(lat2), lam2 = SGMiscd::deg2rad(lon2);
 336     double sinphi2 = sin(phi2), cosphi2 = cos(phi2);
 337
 338     if( (fabs(lat1-lat2) < testv &&
 339          ( fabs(lon1-lon2) < testv)) || (fabs(lat1-90.0) < testv ) )
 340     {
 341         // TWO STATIONS ARE IDENTICAL : SET DISTANCE & AZIMUTHS TO ZERO */
 342         *az1 = 0.0; *az2 = 0.0; *s = 0.0;
 343         return 0;
 344     } else if(  fabs(cosphi1) < testv ) {
 345         // initial point is polar
 346         int k = _geo_inverse_wgs_84( lat2,lon2,lat1,lon1, az1,az2,s );
 347         k = k; // avoid compiler error since return result is unused
 348         b = *az1; *az1 = *az2; *az2 = b;
 349         return 0;
 350     } else if( fabs(cosphi2) < testv ) {
 351         // terminal point is polar
 352         double _lon1 = lon1 + 180.0f;
 353         int k = _geo_inverse_wgs_84( lat1, lon1, lat1, _lon1,
 354                                     az1, az2, s );
 355         k = k; // avoid compiler error since return result is unused
 356         *s /= 2.0;
 357         *az2 = *az1 + 180.0;
 358         if( *az2 > 360.0 ) *az2 -= 360.0;
 359         return 0;
 360     } else if( (fabs( fabs(lon1-lon2) - 180 ) < testv) &&
 361                (fabs(lat1+lat2) < testv) )
 362     {
 363         // Geodesic passes through the pole (antipodal)
 364         double s1,s2;
 365         _geo_inverse_wgs_84( lat1,lon1, lat1,lon2, az1,az2, &s1 );
 366         _geo_inverse_wgs_84( lat2,lon2, lat1,lon2, az1,az2, &s2 );
 367         *az2 = *az1;
 368         *s = s1 + s2;
 369         return 0;
 370     } else {
 371         // antipodal and polar points don't get here
 372         double dlam = lam2 - lam1, dlams = dlam;
 373         double sdlams,cdlams, sig,sinsig,cossig, sinaz,
 374             cos2saz, c2sigm;
 375         double tc,temp, us,rnumer,denom, ta,tb;
 376         double cosu1,sinu1, sinu2,cosu2;
 377
 378         // Reduced latitudes
 379         temp = (1.0-f)*sinphi1/cosphi1;
 380         cosu1 = 1.0/sqrt(1.0+temp*temp);
 381         sinu1 = temp*cosu1;
 382         temp = (1.0-f)*sinphi2/cosphi2;
 383         cosu2 = 1.0/sqrt(1.0+temp*temp);
 384         sinu2 = temp*cosu2;
 385
 386         do {
 387             sdlams = sin(dlams), cdlams = cos(dlams);
 388             sinsig = sqrt(cosu2*cosu2*sdlams*sdlams+
 389                           (cosu1*sinu2-sinu1*cosu2*cdlams)*
 390                           (cosu1*sinu2-sinu1*cosu2*cdlams));
 391             cossig = sinu1*sinu2+cosu1*cosu2*cdlams;
 392
 393             sig = atan2(sinsig,cossig);
 394             sinaz = cosu1*cosu2*sdlams/sinsig;
 395             cos2saz = 1.0-sinaz*sinaz;
 396             c2sigm = (sinu1 == 0.0 || sinu2 == 0.0 ? cossig :
 397                       cossig-2.0*sinu1*sinu2/cos2saz);
 398             tc = f*cos2saz*(4.0+f*(4.0-3.0*cos2saz))/16.0;
 399             temp = dlams;
 400             dlams = dlam+(1.0-tc)*f*sinaz*
 401                 (sig+tc*sinsig*
 402                  (c2sigm+tc*cossig*(-1.0+2.0*c2sigm*c2sigm)));
 403             if (fabs(dlams) > SGMiscd::pi() && iter++ > 50) {
 404                 return iter;
 405             }
 406         } while ( fabs(temp-dlams) > testv);
 407
 408         us = cos2saz*(a*a-b*b)/(b*b); // !!
 409         // BACK AZIMUTH FROM NORTH
 410         rnumer = -(cosu1*sdlams);
 411         denom = sinu1*cosu2-cosu1*sinu2*cdlams;
 412         *az2 = SGMiscd::rad2deg(atan2(rnumer,denom));
 413         if( fabs(*az2) < testv ) *az2 = 0.0;
 414         if(*az2 < 0.0) *az2 += 360.0;
 415
 416         // FORWARD AZIMUTH FROM NORTH
 417         rnumer = cosu2*sdlams;
 418         denom = cosu1*sinu2-sinu1*cosu2*cdlams;
 419         *az1 = SGMiscd::rad2deg(atan2(rnumer,denom));
 420         if( fabs(*az1) < testv ) *az1 = 0.0;
 421         if(*az1 < 0.0) *az1 += 360.0;
 422
 423         // Terms a & b
 424         ta = 1.0+us*(4096.0+us*(-768.0+us*(320.0-175.0*us)))/
 425             16384.0;
 426         tb = us*(256.0+us*(-128.0+us*(74.0-47.0*us)))/1024.0;
 427
 428         // GEODETIC DISTANCE
 429         *s = b*ta*(sig-tb*sinsig*
 430                    (c2sigm+tb*(cossig*(-1.0+2.0*c2sigm*c2sigm)-tb*
 431                                c2sigm*(-3.0+4.0*sinsig*sinsig)*
 432                                (-3.0+4.0*c2sigm*c2sigm)/6.0)/
 433                     4.0));
 434         return 0;
 435     }
 436 }
 437
 438 bool
 439 SGGeodesy::inverse(const SGGeod& p1, const SGGeod& p2, double& course1,
 440                    double& course2, double& distance)
 441 {
 442   int ret = _geo_inverse_wgs_84(p1.getLatitudeDeg(), p1.getLongitudeDeg(),
 443                                 p2.getLatitudeDeg(), p2.getLongitudeDeg(),
 444                                 &course1, &course2, &distance);
 445   return ret == 0;
 446 }
 447
 448 double
 449 SGGeodesy::courseDeg(const SGGeod& p1, const SGGeod& p2)
 450 {
 451   double course1, course2, distance;
 452   int r = _geo_inverse_wgs_84(p1.getLatitudeDeg(), p1.getLongitudeDeg(),
 453                                 p2.getLatitudeDeg(), p2.getLongitudeDeg(),
 454                                 &course1, &course2, &distance);
 455   if (r != 0) {
 456     throw sg_exception("SGGeodesy::courseDeg, unable to compute course");
 457   }
 458
 459   return course1;
 460 }
 461
 462 double
 463 SGGeodesy::distanceM(const SGGeod& p1, const SGGeod& p2)
 464 {
 465   double course1, course2, distance;
 466   int r = _geo_inverse_wgs_84(p1.getLatitudeDeg(), p1.getLongitudeDeg(),
 467                                 p2.getLatitudeDeg(), p2.getLongitudeDeg(),
 468                                 &course1, &course2, &distance);
 469   if (r != 0) {
 470     throw sg_exception("SGGeodesy::distanceM, unable to compute distance");
 471   }
 472
 473   return distance;
 474 }
 475
 476 double
 477 SGGeodesy::distanceNm(const SGGeod& from, const SGGeod& to)
 478 {
 479   return distanceM(from, to) * SG_METER_TO_NM;
 480 }
 481
 482 /// Geocentric routines
 483
 484 void
 485 SGGeodesy::advanceRadM(const SGGeoc& geoc, double course, double distance,
 486                        SGGeoc& result)
 487 {
 488   result.setRadiusM(geoc.getRadiusM());
 489
 490   // lat=asin(sin(lat1)*cos(d)+cos(lat1)*sin(d)*cos(tc))
 491   // IF (cos(lat)=0)
 492   //   lon=lon1      // endpoint a pole
 493   // ELSE
 494   //   lon=mod(lon1-asin(sin(tc)*sin(d)/cos(lat))+pi,2*pi)-pi
 495   // ENDIF
 496
 497   distance *= SG_METER_TO_NM * SG_NM_TO_RAD;
 498
 499   double sinDistance = sin(distance);
 500   double cosDistance = cos(distance);
 501
 502   double sinLat = sin(geoc.getLatitudeRad()) * cosDistance +
 503     cos(geoc.getLatitudeRad()) * sinDistance * cos(course);
 504   sinLat = SGMiscd::clip(sinLat, -1, 1);
 505   result.setLatitudeRad(asin(sinLat));
 506   double cosLat = cos(result.getLatitudeRad());
 507
 508
 509   if (cosLat <= SGLimitsd::min()) {
 510     // endpoint a pole
 511     result.setLongitudeRad(geoc.getLongitudeRad());
 512   } else {
 513     double tmp = SGMiscd::clip(sin(course) * sinDistance / cosLat, -1, 1);
 514     double lon = SGMiscd::normalizeAngle(-geoc.getLongitudeRad() - asin( tmp ));
 515     result.setLongitudeRad(-lon);
 516   }
 517 }
 518
 519 double
 520 SGGeodesy::courseRad(const SGGeoc& from, const SGGeoc& to)
 521 {
 522   //double diffLon = to.getLongitudeRad() - from.getLongitudeRad();
 523   double diffLon = from.getLongitudeRad() - to.getLongitudeRad();
 524
 525   double sinLatFrom = sin(from.getLatitudeRad());
 526   double cosLatFrom = cos(from.getLatitudeRad());
 527
 528   double sinLatTo = sin(to.getLatitudeRad());
 529   double cosLatTo = cos(to.getLatitudeRad());
 530
 531   double x = cosLatTo*sin(diffLon);
 532   double y = cosLatFrom*sinLatTo - sinLatFrom*cosLatTo*cos(diffLon);
 533
 534   // guard atan2 returning NaN's
 535   if (fabs(x) <= SGLimitsd::min() && fabs(y) <= SGLimitsd::min())
 536     return 0;
 537
 538   double c = atan2(x, y);
 539   if (c >= 0)
 540     return SGMiscd::twopi() - c;
 541   else
 542     return -c;
 543 }
 544
 545 double
 546 SGGeodesy::distanceRad(const SGGeoc& from, const SGGeoc& to)
 547 {
 548   // d = 2*asin(sqrt((sin((lat1-lat2)/2))^2 +
 549   //            cos(lat1)*cos(lat2)*(sin((lon1-lon2)/2))^2))
 550   double cosLatFrom = cos(from.getLatitudeRad());
 551   double cosLatTo = cos(to.getLatitudeRad());
 552   double tmp1 = sin(0.5*(from.getLatitudeRad() - to.getLatitudeRad()));
 553   double tmp2 = sin(0.5*(from.getLongitudeRad() - to.getLongitudeRad()));
 554   double square = tmp1*tmp1 + cosLatFrom*cosLatTo*tmp2*tmp2;
 555   double s = SGMiscd::min(sqrt(SGMiscd::max(square, 0)), 1);
 556   return 2 * asin(s);
 557 }
 558
 559
 560 double
 561 SGGeodesy::distanceM(const SGGeoc& from, const SGGeoc& to)
 562 {
 563   return distanceRad(from, to) * SG_RAD_TO_NM * SG_NM_TO_METER;
 564 }
 565
 566 bool
 567 SGGeodesy::radialIntersection(const SGGeoc& a, double r1,
 568     const SGGeoc& b, double r2, SGGeoc& result)
 569 {
 570   // implementation of
 571   // http://williams.best.vwh.net/avform.htm#Intersection
 572
 573   double crs13 = r1 * SG_DEGREES_TO_RADIANS;
 574   double crs23 = r2 * SG_DEGREES_TO_RADIANS;
 575   double dst12 = SGGeodesy::distanceRad(a, b);
 576
 577   //IF sin(lon2-lon1)<0
 578   // crs12=acos((sin(lat2)-sin(lat1)*cos(dst12))/(sin(dst12)*cos(lat1)))
 579   // crs21=2.*pi-acos((sin(lat1)-sin(lat2)*cos(dst12))/(sin(dst12)*cos(lat2)))
 580   // ELSE
 581   // crs12=2.*pi-acos((sin(lat2)-sin(lat1)*cos(dst12))/(sin(dst12)*cos(lat1)))
 582   // crs21=acos((sin(lat1)-sin(lat2)*cos(dst12))/(sin(dst12)*cos(lat2)))
 583   // ENDIF
 584   double crs12 = SGGeodesy::courseRad(a, b),
 585          crs21 = SGGeodesy::courseRad(b, a);
 586
 587   double sinLat1 = sin(a.getLatitudeRad());
 588   double cosLat1 = cos(a.getLatitudeRad());
 589   double sinDst12 = sin(dst12);
 590   double cosDst12 = cos(dst12);
 591
 592   double ang1 = SGMiscd::normalizeAngle2(crs13-crs12);
 593   double ang2 = SGMiscd::normalizeAngle2(crs21-crs23);
 594
 595   if ((sin(ang1) == 0.0) && (sin(ang2) == 0.0)) {
 596     SG_LOG(SG_GENERAL, SG_WARN, "SGGeodesy::radialIntersection: infinity of intersections");
 597     return false;
 598   }
 599
 600   if ((sin(ang1)*sin(ang2))<0.0) {
 601     SG_LOG(SG_GENERAL, SG_WARN, "SGGeodesy::radialIntersection: intersection ambiguous");
 602     return false;
 603   }
 604
 605   ang1 = fabs(ang1);
 606   ang2 = fabs(ang2);
 607
 608   //ang3=acos(-cos(ang1)*cos(ang2)+sin(ang1)*sin(ang2)*cos(dst12))
 609   //dst13=atan2(sin(dst12)*sin(ang1)*sin(ang2),cos(ang2)+cos(ang1)*cos(ang3))
 610   //lat3=asin(sin(lat1)*cos(dst13)+cos(lat1)*sin(dst13)*cos(crs13))
 611   //lon3=mod(lon1-dlon+pi,2*pi)-pi
 612
 613   double ang3 = acos(-cos(ang1) * cos(ang2) + sin(ang1) * sin(ang2) * cosDst12);
 614   double dst13 = atan2(sinDst12 * sin(ang1) * sin(ang2), cos(ang2) + cos(ang1)*cos(ang3));
 615   double lat3 = asin(sinLat1 * cos(dst13) + cosLat1 * sin(dst13) * cos(crs13));
 616   //dlon=atan2(sin(crs13)*sin(dst13)*cos(lat1),cos(dst13)-sin(lat1)*sin(lat3))
 617   double dlon = atan2(sin(crs13)*sin(dst13)*cosLat1, cos(dst13)- (sinLat1 * sin(lat3)));
 618   double lon3 = SGMiscd::normalizeAngle(-a.getLongitudeRad()-dlon);
 619
 620   result = SGGeoc::fromRadM(-lon3, lat3, a.getRadiusM());
 621   return true;
 622 }
 623
 624 bool
 625 SGGeodesy::radialIntersection(const SGGeod& a, double aRadial,
 626     const SGGeod& b, double bRadial, SGGeod& result)
 627 {
 628   SGGeoc r;
 629   bool ok = radialIntersection(SGGeoc::fromGeod(a), aRadial,
 630     SGGeoc::fromGeod(b), bRadial, r);
 631   if (!ok) {
 632     return false;
 633   }
 634
 635   result = SGGeod::fromGeoc(r);
 636   return true;
 637 }